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我们深知严谨的，形式化的推演在数学中所扮演的重要角色，然而必须指出，存在这样一些直觉上的，也即行之有效而不那么严谨的策略，在数学的学习和研究中一样十分重要。 本文其实是G.波利亚的《怎样解题：数学思维的新方法》的读后感。（这本书在二中图书馆的编号是 O1/82） 数学的声誉值得怀疑，它看起来是专业课程中最不受欢迎的学科。对于许多人而言，一个很常见的问题是这样的： 到底是我天赋不够，还是教材不讲人话？ 如果你习惯于在看到书本上的一个命题后不立即查看书上给出的解答，而是首先尝试自己证明它的话，那么你可能或多或少地遇到过这样的情况：虽然自己独立想出了该命题的证明，但是这个证明十分冗长，而书上所给出的证明则轻松利用了一个之前已经证明过的引理三两行完成证明，你却没有意识到这个引理恰好可以使用在这里。 这说明在一个好的逻辑系统中，每个命题都被这样安排，使得它能以前面的公理、定义和命题为基础。我们可以将这种编排方式看做这个逻辑系统的作者的最大成就，也是这个逻辑系统的主要价值所在。一般而言，要消去一个专业术语，就必须知道它的定义。但是，如果我们已经知道了关于这个概念的许多定理，并且有了许多使用它们的经验，那么我们就有机会抓住一个有用的定理，而非总是带回到定义去。 据此，我们就可以给开篇的那个问题一个回答了，往往既不能怪教材不讲人话，也不是你没有数学天赋。关系到你是否理解数学的，是你是否具备相关经验，而非你的天赋如何。数学是一门非常抽象的学科，应该十分具体地把它阐述出来。在我们身边那些似乎很擅长数学的人，那些头脑转得很快的人，那些似乎具有先天优势的人，归根结底往往只是拥有更加丰富的经验和更加准确的直觉，更能够看透文字表面之下的本质。 数学是一门具有极高要求严谨性的学科，诸如证明、定义、定理证明和推演等形式化的方法是数学工作的重要组成部分。然而，在这份精湛和复杂的学科中，粗略的，直觉性的方法也同样是至关重要的。这篇文章旨在对比这些直觉上的技巧和策略与形式化的推演和证明，并指出直觉上的技巧和策略在数学学习和研究中的重要性和应用。 数学的教材，宽泛地说，可以分为两类。一类的行文相对自然流畅， 从中很容易就可以看出作者编写时的思路，上下文之间十分连贯。这类作者一般很少使用“定义”、“定理”、“证明”之类的标识符将全文划分成一段一段的。而另一类作者则广泛的使用这类词语，他们习惯于从公理或定义出发，一步一步建立起整个逻辑体系，有时不惜为了某个结论铺垫很久引理和辅助概念。 很难说出这两种行文风格谁更胜一筹，事实上，它们各有各的优点。一般而言，前者更容易让人理解，但是有时牺牲了一定的严谨性。而后者虽然非常严谨，但是往往也被指责为不说人话。 这体现于，把东西用简洁、严谨的方式讲述出来，以方便同行验证，和以外延、启发的方式让更多的人群理解，是需要不同的策略的。一方面，数学作为形式科学，是一门系统的，基于公理及的演绎科学，严谨性毫无疑问是数学的灵魂所在。另一方面也必须认识到，数学在形成过程中看上去却是一种的实验性的归纳科学。而这两个方面都如同数学本身一样古老。 直观的洞察和形式上的证明是获得真理的两种不同的方式。直观的洞察力可能远远领先于形式上的证明，基于逻辑规则的形式操作和纯符号计算也可以远远领先于直觉。 因此我们应当尝试使用“直觉的”理解和“形式的”证明两种方法来确认我们的推理中的每一步都是正确无误的。最重要的是让我们真正确信我们的每一步的正确性。其中“看出”和“证明”之间的区别是值得加以显著区分的：能够看出某个步骤的正确性和对其严格证明是非常不同的。 尽可能形式地证明我们所直观看到的，以及尽可能直观地看出我们所形式证明过的，这是一种增进智力的练习。不幸，在教学中，并不总有时间来这样做。在理想情况下，我们应该同时采用形式推理和直觉洞察这两种方式来确定每一步的正确性。 很明显，我们的非数学知识不能完全基于形式上的证明。虽然数学上的知识一般认为是可以公理化的，但是我们所掌握的任何牢固的知识都应该有一个宽广的实验基础，并在直观的理解中得到扩展。 如果目标是详细地检查论证，那么“欧几里得式”的形式化论证方式值得毫无保留地推荐，但是如果我们是要将某个理论介绍给一个从未听说过它的读者，那么是否采用严格的形式化论证方式是值得商榷的。一个聪明的读者或许能够很容易地看出论证中的每一步都是正确无误的，但是理解论其中的来源、目的以及整个论证中的联系将会成为主要的困难。 是的，聪明的读者不会只满足于验证证明中的每一步都是正确的，他们也想知道各个步骤的动机和目标。因为如果最引人注目的步骤的动机和目的任然是不可理解的话，我们在推理和创造力方面就不能学到任何东西。