粒子群算法如何应用于连续型函数优化问题的？

文章主要参考了以下博文： https://zhuanlan.zhihu.com/p/564819718 1. 简介 粒子群算法是一种解决最优化问题的通用方法，其优点是求解速度快，数值相对稳定，算法简单。粒子群算法分为连续型粒子群算法和离散型粒子群算法，分别用于解决连续型问题和离散型问题。 粒子群优化算法源自对鸟群捕食行为的研究：一群鸟在区域中随机搜索食物，搜索的策略就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。粒子群算法利用这种模型得到启示并应用于解决优化问题： 鸟类的飞行空间： 搜索空间，也可以理解为约束 鸟（粒子）： 可行解 鸟类寻找到的食物源： 最优解 在粒子群算法中，每个优化问题的潜在解都是搜索空间中的一只鸟，称之为粒子（在连续性例子群算法中，每一个粒子就代表一个可行解）。所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应度值，每个粒子还有一个速度决定它们飞翔的方向和距离。然后，粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。 粒子群算法首先在给定的解空间中随机初始化粒子群，待优化问题的变量数决定了解空间的维数（这里表示每个粒子的维度，后面我们会用D表示维度）。每个粒子有了初始位置与初始速度（x表示当前位置，v表示速度，粒子群算法最重要的是对速度公式的更新，因为速度决定了更新的方向，进而决定解的值），然后通过迭代寻优。在每一次迭代中，每个粒子通过跟踪两个“极值”来更新自己在解空间中的空间位置与飞行速度：一个极值就是单个粒子本身在迭代过程中找到的最优解粒子，这个粒子叫作个体极值；（这里的意思是，每个粒子具有记忆性，每个粒子子记得两个值，一个是全部的粒子距离目标的最优值，另一个值是这个粒子曾经历史的最优值） 另一个极值是种群所有粒子在迭代过程中所找到的最优解粒子，这个粒子是全局极值。 2. 连续型粒子群优化算法 2.1 基本原理 假设在一个\(D维\)的目标搜索空间中，有\(N\)个粒子组成一个群落，其中第\(i\)个粒子表示一个\(D维\)的向量： \[X_i=(x_{i1},x_{i2},\dots,x_{iD}),\quad{i}=1,2,\dots,N\quad\quad(1) \] 第\(i\)个粒子的“飞行”速度也是一个\(D维\)向量： \[V_i=(v_{i1},v_{i2},\dots,v_{iD}),\quad{i}=1,2,\dots,N\quad\quad\quad(2) \] 第\(i\)个粒子迄今为止搜到的最优位置称为个体极值（比如：\((p_{11},p_{12},\dots,p_{1D})\)就是第一个粒子搜索到的最优位置），记为： \[p_{best}=(p_{i1},p_{i2},\dots,p_{iD}),\quad{i}=1,2,\dots,N\quad\quad(3) \] 整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置为全局极值（我的理解是\(g_{best}\)就是本次迭代的局部最优解），记为： \[g_{best}=(g_{1},g_{2},\dots,g_{D})\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(4) \] 在找到这两个最优值时，粒子根据如下的式(5)和式(6)分别来更新自己的速度和位置: \[v_{ij}(t+1)=v_{ij}(t)+c_1r_1[p_{ij}(t)-x_{ij}(t)]+c_2r_2[p_{gj}(t)-x_{ij}(t)]\quad(5) \] \[x_{ij}(t+1)=x_{ij}(t)+v_{ij}(t+1)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(6) \] 式(5)和式(6)是整个粒子群算法最核心的部分，对于式(5)，其中： \(c_1\)和\(c_2\)为学习因子，也称加速常数； \(r_1\)和\(r_2\)为\([0，1]\)范围内的均匀随机数；\(r_1\)和\(r_2\)是介于0和1之间的随机数，增加了粒子飞行的随机性。 \(j=1，2，…，D\)； \(v_{ij}\)是粒子的速度，\(v_{ij}∈［-v_{max}，v_{max}］\)，\(v_{max}\)是常数，由用户设定来限制粒子的速度。