高光谱成像基础中，如何实现光谱重建技术？

在前面的内容里，我们已经围绕高光谱数据的降维、检测与解混展开了很多方法。 这些方法其实都有一个共同点： 它们都假设光谱数据是“已知且完整”的。 但在实际应用中，这个假设往往并不成立。 例如传感器只能采集少量波段、成像设备成本或带宽受限、数据存在缺失或严重噪声或者仅有 RGB 图像，却希望获得高光谱信息等等。 这就引出了一个新的研究方向： 在数据缺失/不完整的能否从“部分信息”恢复出完整光谱？ 这就是光谱重建问题。 1.什么是光谱重建？ 首先，从数学角度来看，光谱重建的本质是一个从低维到高维的映射问题：观测数据 \(\mathbf{y}\) 是 RGB 或少量波段，而目标光谱 \(\mathbf{x}\) 是完整高光谱。 因此，光谱重建的目标其实是学习一个映射函数： \[\mathbf{x} = f(\mathbf{y}) \] 从语义上来说，就是用少量观测信息，恢复完整的光谱曲线。 于是新的问题紧接而至： 怎么得到更好的重建结果？又怎么知道重建结果是否正确？ 2. 解不唯一问题与先验信息 2.1 光谱重建的解不唯一问题 先再看一遍公式： \[\mathbf{x} = f(\mathbf{y}) \] 显然，光谱重建的关键就在映射函数 \(f\) 上，但问题在于，这种映射并不唯一。 举个例子，假如我们想把一个 RGB 值重建为光谱 \(\mathbf{x}\)： \[\mathbf{y} = (255, 0, 0) \] 我们现在有的是一个观测结果，但是在光学中，不止一种情况会造成这种结果： 可能是因为原光谱在 600nm 有尖峰，又或者是在 580–700nm 平滑分布，还可能多个波段组合，这些都可以造成 \((255, 0, 0)\) 这一观测结果。 也就是说，完全不同的光谱，可能对应相同的 RGB 值。 在专用名词里，这叫同色异谱（Metamerism）。 显然，在这一步，就会让我们定义的 \(f\) 出现分歧： \(f_1\)：偏好“尖峰光谱”。 \(f_2\)：偏好“平滑光谱”。 \(f_3\)：基于训练数据学出来的分布。 那么： \[\mathbf{x}_1 = f_1(\mathbf{y}),\quad \mathbf{x}_2 = f_2(\mathbf{y}),\quad \mathbf{x}_3 = f_3(\mathbf{y}) \] 对于不同的映射，结果自然不同，而对映射的选择，其根本是基于我们对数据的经验认识。 展开一下，如果我认为 \(f_1\) 更合理，那是因为我对数据的认识中，原光谱更多是“尖峰光谱”，所以我假设这份不完整的数据重建后也是这样，所以我以此进行还原。 就像对于一个身高 180cm 的男人，我们不知道他的体重，一个人会根据普遍经验推测他的体重大概在 65-80kg 左右，另一个人则因为所在国家普遍超重，他推测的体重就是 100kg 以上。 对这种基于经验的假设，我们在之前的内容里已经提到过它的专有名词：先验信息。 先验信息，就是在没有观测数据之前，我们对“合理解应该长什么样”的已有认知。 2.2 光谱重建中的先验信息 既然先验信息决定了我们如何选择映射函数 \(f\)，那么现在的问题就是： 我们应该对“光谱”做什么样的先验假设？什么样的光谱，才被认为是“合理的”？ 在实际研究中，这些假设并不是随意提出的，而是来源于对自然光谱数据的长期观察与总结。常见的先验大致可以归纳为以下几类： （1）低维子空间先验 一个经验事实是： 自然界中的光谱虽然是高维的，但其变化模式往往集中在一个低维子空间中。 也就是说，虽然光谱可能有上百个波段，但真正“自由变化”的维度其实很少。 因此我们可以假设： \[\mathbf{x} \approx \mathbf{D}\mathbf{a} \] 这里的 \(\mathbf{D}\) 是一组固定的基，可以来自光谱库或统计方法。而 \(\mathbf{a}\) 是低维系数。 这种先验的核心思想是：光谱不是“随便长”的，而是由少数几种“基础形状”组合而成。 实际上，我们前面介绍的 LMM 就是基于这种先验。 （2）稀疏性先验 在低维子空间的基础上，还可以进一步加强假设： 一个像素的光谱，通常只由少数几种材料决定。 这意味着在表示 \(\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{a}\) 时：\(\mathbf{a}\) 是稀疏的，只有少数几个分量非零。 总结就是：一个地物像素，不可能同时由几十种材料“均匀混合”，而往往是少数几种成分主导。