Prim算法求最小生成树，怎么用？

51.Acwing基础课第858题-简单-Prim算法求最小生成树 题目描述 给定一个 n 个点 m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。 求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。 给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。 由 V𝑉 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G的最小生成树。 输入格式 第一行包含两个整数 n 和 m。 接下来 m行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。 输出格式 共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。 数据范围 1≤n≤500， 1≤m≤105 图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。 输入样例： 4 5 1 2 1 1 3 2 1 4 3 2 3 2 3 4 4 输出样例： 6 代码： #include <iostream> #include <cstring> using namespace std; // 常量定义： // N：最大顶点数（题目约束510） // INF：无穷大（0x3f3f3f3f是常用的无穷大值，避免溢出且便于计算） const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f; int n, m; // n：顶点数，m：边数 int g[N][N]; // 邻接矩阵：g[i][j]表示顶点i到j的边权，初始为INF int dist[N]; // dist[i]：顶点i到当前最小生成树的最短距离 bool st[N]; // st[i]：标记顶点i是否已加入最小生成树 // Prim算法：求解无向图的最小生成树总权值，不连通则返回INF int prim() { // 初始化dist数组为无穷大：所有点初始时到生成树的距离都是无穷大 memset(dist, 0x3f, sizeof dist); int res = 0; // res：最小生成树的总权值 // 循环n次：依次将n个顶点加入生成树 for(int i = 0; i < n; i++) { int t = -1; // t：记录当前未加入生成树、且dist最小的顶点 // 第一步：找到未加入生成树的dist最小的顶点t for(int j = 1; j <= n; j++) { // 条件：j未加入生成树，且（t未初始化 或 j的dist比t更小） if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) t = j; } // 第二步：判断图是否连通（非第一个顶点时） // 若dist[t]仍接近无穷大，说明没有边能连接到t，图不连通 if(i && dist[t] > INF/2) return INF; // 第三步：累加边权（第一个顶点无前置边，不加） if(i) res += dist[t]; st[t] = true; // 将t加入生成树 // 第四步：用顶点t更新其他顶点到生成树的最短距离 // 遍历所有顶点j，若t到j的边权比当前dist[j]更小，则更新 for(int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]); } return res; // 返回最小生成树总权值 } int main() { cin >> n >> m; // 输入顶点数n和边数m int a, b, c; // a,b：边的两个顶点；c：边权 // 初始化邻接矩阵为无穷大：表示初始时所有顶点间无连接 memset(g, 0x3f, sizeof g); // 输入m条边 while(m--) { cin >> a >> b >> c; // 处理重边：保留a-b之间权值最小的边（无向图双向赋值） g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); } // 调用Prim算法，获取最小生成树总权值 int t = prim(); // 输出结果：若返回值接近无穷大，说明无最小生成树；否则输出总权值 if(t > INF/2) cout << "impossible" << endl; else cout << t << endl; return 0; } Prim 算法（朴素版） （1）核心思路 与迪杰斯特拉（Dijkstra）算法流程高度相似，核心是 “贪心选择当前离连通块最近的顶点”，逐步扩展连通块，直到覆盖所有顶点。 关键定义： 集合 S：当前已纳入生成树的顶点（连通块）。 距离数组dist[]：dist[i]表示顶点 i 到集合 S 的最短边权重（若 i 在 S 中，dist[i]=0；若无边连接，dist[i]=∞）。 （2）算法流程 初始化：所有顶点的dist[]设为∞，dist[任意起点]可设为 0（或默认从第一个顶点开始）。 迭代 n 次（n 为顶点数）： a. 找到集合 S 外dist[]最小的顶点 t（“离连通块最近的顶点”）。 b. 若 t 的dist[]仍为∞，说明图不连通，无 MST。 c. 将 t 的dist[]累加到 MST 总权重（t 与 S 的最短边即为生成树的一条边）。 d. 将 t 加入集合 S（标记为已访问）。 e. 用 t 更新其他顶点到 S 的距离：若顶点 j 与 t 的边权重 < dist[j]，则更新dist[j]。 （3）适用场景与时间复杂度 适用：稠密图（顶点数少、边数多，如 n=500，m=1e5）。 时间复杂度：O (n²)（n 次迭代，每次遍历 n 个顶点找最小值）。 优势：代码短，思路与 Dijkstra 一致，容易记忆。 （4）算法求最小生成树 内容详细总结 ①算法核心原理与前置定义 A.最小生成树（MST）基础定义 给定一个无向连通图，最小生成树是满足以下条件的边集合： 能将图中所有节点连通，且无环（符合树的基本性质，边数固定为「节点数 n-1」）； 所有选中边的权重之和为全图最小。 B.Prim 算法核心贪心思想 Prim 算法采用 「逐步扩展连通块」 的贪心策略，核心逻辑为： 从任意一个起点（通常选 1 号节点）出发，构建初始连通块； 每一轮迭代，找到未加入连通块、且离当前连通块距离最短的节点，将其加入连通块； 用新加入的节点，更新剩余未加入节点到连通块的最短距离； 重复迭代直到所有节点都加入连通块，最终累加的距离和即为最小生成树的总权重；若迭代中无法找到可加入的节点，说明图不连通，无最小生成树。 C.算法核心变量 g[N][N]：邻接矩阵，存储节点间的边权（无边则为 INF=0x3f3f3f3f）； dist[N]：存储未加入连通块的节点到当前连通块的最短距离； st[N]：标记节点是否已加入连通块（true= 已加入，false= 未加入）； res：最小生成树的总权重。 ②Prim 算法逐轮迭代模拟 A.代码的核心执行顺序（必须严格遵守） prim()函数执行流程： 初始化 dist 全为 INF (0x3f3f3f3f)，res=0 循环 n 次（i 从 0 到 n-1）： a. 找未加入集合 st[j]=false 中，dist 最小的节点 t b. 若 i≠0 且 dist[t]==INF，说明图不连通，返回 INF c. 若 i≠0，将 dist[t] 累加到总权重 res d. 用节点 t 更新所有节点的 dist 数组：dist[j] = min(dist[j], g[t][j]) e. 标记 t 加入集合：st[t] = true 循环结束，返回 res B.逐轮模拟 算法共迭代 n=5 次，每次选择未加入连通块、且到连通块距离最短的节点，更新其他节点的距离，最终累加总权重。 初始状态（迭代前） dist = [INF, INF, INF, INF, INF]（索引 0 未使用，1-5 对应节点 1-5）； st = [false, false, false, false, false]； res = 0。 第 1 轮迭代（i=0，加入第 1 个节点：节点 1） 找最短距离节点：所有节点未加入，dist 均为 INF，默认选择节点 1（t=1）。 更新总权重：i=0 是第一次迭代，不加入权重（res 仍为 0）。 用节点 1 更新其他节点的距离： 节点 2：dist[2] = min(INF, g[1][2]=100) = 100； 节点 3：dist[3] = min(INF, g[1][3]=150) = 150； 节点 4：dist[4] = min(INF, g[1][4]=140) = 140； 节点 5：与节点 1 无边，dist[5] 仍为 INF。 标记节点 1 加入连通块：st[1] = true。 本轮结束后状态： dist = [INF, 100, 150, 140, INF]； st = [true, false, false, false, false]； res = 0。 第 2 轮迭代（i=1，加入第 2 个节点：节点 2） 找最短距离节点：未加入节点为 2、3、4、5，dist 最小的是节点 2（dist[2]=100，t=2）。 更新总权重：i≠0，res += dist[2] → res = 0 + 100 = 100。 用节点 2 更新其他节点的距离： 节点 4：dist[4] = min(140, g[2][4]=80) = 80； 节点 5：dist[5] = min(INF, g[2][5]=80) = 80； 节点 3：与节点 2 无边，dist[3] 仍为 150。 标记节点 2 加入连通块：st[2] = true。 本轮结束后状态： dist = [INF, 100, 150, 80, 80]； st = [true, true, false, false, false]； res = 100。 第 3 轮迭代（i=2，加入第 3 个节点：节点 4） 找最短距离节点：未加入节点为 3、4、5，dist 最小的是节点 4（dist[4]=80，t=4）。 更新总权重：res += dist[4] → res = 100 + 80 = 180。 用节点 4 更新其他节点的距离： 节点 3：dist[3] = min(150, g[4][3]=15) = 15； 节点 5：dist[5] = min(80, g[4][5]=10) = 10； 节点 1、2：已加入连通块，无需更新。 标记节点 4 加入连通块：st[4] = true。 本轮结束后状态： dist = [INF, 100, 15, 80, 10]； st = [true, true, false, true, false]； res = 180。 第 4 轮迭代（i=3，加入第 4 个节点：节点 5） 找最短距离节点：未加入节点为 3、5，dist 最小的是节点 5（dist[5]=10，t=5）。 更新总权重：res += dist[5] → res = 180 + 10 = 190。 用节点 5 更新其他节点的距离： 节点 3：与节点 5 无边，dist[3] 仍为 15； 其他节点：已加入连通块，无需更新。 标记节点 5 加入连通块：st[5] = true。 本轮结束后状态： dist = [INF, 100, 15, 80, 10]； st = [true, true, false, true, true]； res = 190。 第 5 轮迭代（i=4，加入第 5 个节点：节点 3） 找最短距离节点：未加入节点只有 3，dist[3]=15（t=3）。 更新总权重：res += dist[3] → res = 190 + 15 = 205。 用节点 3 更新其他节点的距离： 所有节点已加入连通块，无需更新。 标记节点 3 加入连通块：st[3] = true。 本轮结束后状态： 所有节点均加入连通块，迭代结束； 最终 res = 205。 ③最终结果 最小生成树总权重：205； 生成树的边（通过迭代过程反推）：1-2、2-4、4-5、4-3（共 4 条边，符合 n-1=4 的树的性质）； 图的连通性：所有节点均成功加入连通块，图是连通的，无 “impossible” 情况。 ④代码运行验证 将图的边权输入提供的代码，运行后输出结果为 205，与模拟结果完全一致，验证了算法的正确性。