微积分和泰勒展开究竟有何奥秘？

浅谈微积分以及泰勒展开 前言 这年头不会微积分干什么都不行啊 一.微积分 微积分其实就只有两种运算，一种是求导(微分)，另一种是求积分。并且其为互逆运算 导数 导数的定义 导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。——百度百科 简而言之，所谓导数所反映的就是一个函数的变化趋势，其同样是一个函数。设 \(f'(x)\) 为 \(f(x)\) 的导数，那么 \(f'(x_0)\) 就是 \(f(x)\) 的图像上过横坐标为 \(x_0\) 的点的切线的斜率。 讲的更容易理解一点，我们先抛开所有关于微积分的什么极限啊什么的。仅仅考虑一个问题：什么是变化率？ 你可能会说：“变化率就是 \(\Delta y\) 和 \(\Delta x\) 的比值。”确实，就是这样。它反映的是一个变化的趋势，就是随着横坐标 \(x\) 的变化，纵坐标 \(y\) 变化了多少。如果变化率越大，那么相应的，\(y\) 的变化就会越大。 而导数的本质就是变化率，只不过将其放在了一个十分微小的范围内。可以近似地看成图像在某个点的变化率。 那么这里有一个关于导数的悖论：“一个函数的导数所反映的是该函数在每个点时的变化率。”但一个点谈何变化？它连 \(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 都没有。 所以，不要把这当做导数的定义，别把导数看成某一点瞬时的变化率，而是看成某一点附近的变化率的最佳近似。 导数的求法 基本初等函数 这个很简单，按照定义来就行了。 我们假设一个函数在 \(x_0\) 处产生了一个非常小的增量 \(dx\) ，同时导致了纵坐标的增量 \(df\) ，那么根据定义，其导数即为 \(\frac{df}{dx}\) 。 以 \(f(x)=x^2\) 为例： \[\begin{aligned} \frac{df}{dx} &=\frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx}\\ &=\frac{x_0^2+2dx\cdot x+dx^2-x_0^2}{dx}\\ &=2x+dx \end{aligned}\\ f'(x)=\lim_{dx\to 0} \frac{df}{dx}=\lim_{dx\to 0} 2x+dx=2x \] 当 \(dx\) 无限趋近于 \(0\) 时，我们可以将其省略，那么 \(\frac{df}{dx}=2x\) 。所以函数 \(f(x)=x^2\) 的导数为 \(f'(x)=2x\) 。 但是，有没有更直观的方法呢？我可不想每次求导数的时候都去这样推一遍。自然是有的。用几何法也可以证明。 让我们假设现在有一个边长为 \(x\) 的正方形，那么它的面积就为 \(x^2\) ，该函数的函数值。此时如果该正方形的边长增加一个很小的量 \(dx\) ，那么它的面积 \(ds\) 就会增加 \(dx\cdot x+dx\cdot x+dx^2\) ，因为 \(dx\) 本身就是一个极小的值，那么其平方会变得更小，我们可以直接忽略不计。那么 \(\frac{ds}{dx}\) 的值就为 \(2x\) ，与我们用代数法算出来的答案是一样的。 感谢 @眼界小开 的建议，为了方便理解几何法，我觉得这里应该放一张图： 3B1B：微积分的本质 假如我们学过微积分，这时我们就会发现，导数里面的系数 \(2\) 居然和原函数的指数 \(2\) 相同！这是巧合吗？显然不是。我们试着写出函数 \(f(x)=x^3\) 的导数 \(f'(x)=3x^2\)，发现居然和二次函数一样。那是不是…… 好吧我坦白，这就是幂函数的共性……除此之外，这里还有一些其他基本函数的导数： \(C'=0\) （\(C\) 为任意常数） \((x^a)'=ax^{a-1}\) \((e^x)'=e^x\) \((\log_ax)'=\frac{1}{x\ \ln a}\) \((\sin x)'=\cos x\) \((\cos x)'=-\sin x\) \((\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}\) 我们发现这个里面有一个非常神奇的函数 \(e^x\) ，它的导数居然是它自己。怎么说呢，其实自然常数 \(e\) 就是这样定义的。