无平方因子数的分布呈现怎样的特征？

无平方因子数的分布(Ⅰ) Daoyi Peng May 23, 2015 ● 卷积方法余项估计 定义 1 乘性函数 $n\mapsto \mu^2(n)$, 其部分和 \begin{equation*} Q(x):=\sum_{n\leqslant x}\mu^2(n) \end{equation*} 等于不超过 $x$ 的无平方因子整数的个数. 定理 1 当 $x$ 趋于无穷时, 有 \begin{equation*} Q(x)=\frac{6}{\pi^2}x+O(\sqrt{x}). \end{equation*} ● 素数定理下余项估计 引理 1 素数定理 \begin{equation*} \pi(x)=\sum_{p\leqslant x}1 = (1+o(1)) \frac{x}{\log x} \end{equation*} 与 \begin{equation}\label{eq:1} M(x)=\sum_{n\leqslant x}\mu(n)=o(x) \end{equation} 等价, 其中 $M(x)$ 称 Mertens 函数. 定理 2 在 \eqref{eq:1} 下, 有 \begin{equation*} Q(x)=\frac{6}{\pi^2}x+o(\sqrt{x}) \quad (x\to \infty). \end{equation*} ● $\zeta(s)$ 的无零点区域 引理 2 存在绝对常数 $c>0$, 使得对 $\tau\in\mathbb{R}$ 及 \begin{equation*} \sigma \geqslant 1-\frac{c}{\log^9 (|\tau|+2)}, \end{equation*} 有上界估计 \begin{equation*} 1/\zeta(s) \ll \log^{7} (|\tau|+2). \end{equation*} 且在此区域 $\big\{s: \sigma \geqslant 1-\frac{c}{\log^9 (|\tau|+2)} \big\}$ 内 $\zeta(s)$ 无零点. 定理 3 存在绝对正常数 $c>0$, 使得 \begin{equation*} Q(x)=\frac{6}{\pi^2}x+O \big( x^{\frac{1}{2}}\exp(-c(\log x)^{\frac{1}{10}}) \big). \end{equation*} 引理 3 (Korobov 1958 Vinogradov 1958) 存在绝对常数 $c>0$, 使得对 \begin{equation*} \sigma \geqslant 1-\frac{c (\log\log \tau)^{-1/3}}{(\log \tau)^{2/3}} \quad (\tau \geqslant 3), \end{equation*} 有上界估计 \begin{equation*} 1/\zeta(s) \ll (1+\tau^{A(1-\sigma)^{3/2}})(\log \tau)^{2/3} \quad (\sigma \geqslant 0, \, \tau \geqslant 2). \end{equation*} 且在此区域 $\{s: \sigma \geqslant 1- c (\log\log \tau)^{-1/3}(\log \tau)^{-2/3} \}$ 内 $\zeta(s)$ 无零点. 定理 4 存在绝对正常数 $c>0$, 使得 \begin{equation*} Q(x)=\frac{6}{\pi^2}x +O\left( \sqrt{x}\exp\big(-c (\log x)^{\frac{3}{5}} (\log\log x)^{-\frac{1}{5}}\big)\right). \end{equation*} ● Riemann 假设下的余项估计 Riemann 假设 $\zeta(s)$ 的非平凡零点的实部为 \[ \Re \varrho =\dfrac{1}{2}.\] 定理 5 贾朝华 (1993) 若 Riemann 假设成立, 则有 \begin{equation*} Q(x) = \frac{6}{\pi^2} x + O_{\varepsilon}(x^{17/54+ \varepsilon}). \end{equation*} ● $\Omega$ 结果 定理 6 当 $x$ 趋于无穷时, 有 \begin{equation*} Q(x)=\frac{6}{\pi