多重小数和渐近式与Furdui积分问题有何关联？

一类多重小数部分和的渐近式与Ovidiu Furdui积分问题 最近（6月），网友王永强先生发给好友曾熊一个渐近式，即如下 $k=2$ 的情形，熊哥转述给我后，觉得比较有意思，然后我和马明辉做了推广，考虑了如下 $k$ 重和式 \begin{equation}\label{eq:1} \sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N}\dotsc \sum_{n_{k}=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2+\dotsb+n_k} \right\} \end{equation} 的渐近估计，$\{\cdot \}$ 表示小数部分．和式取遍不超过 $N$ 的正整数 $n_1,n_2,\dotsc, n_k \in\mathbb{N}_{+}$. 当 $k=1$ 时，\eqref{eq:1} 式可由著名的 Dirichlet 除数问题得到，我们有 \begin{equation}\label{eq:2} \sum_{n_1=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1} \right\} = (1-\gamma) N + O\big(\sqrt{N}\big) \end{equation} 其中 $\gamma$ 是 Euler 常数．迄今， \eqref{eq:2} 式中余项最好的上界估计是 2017 年 J. Bourgain 和 N. Watt (Mean square of zeta function, circle problem and divisor problem revisited,arXiv:1709.04340v1) Theorem 2 的结果: $O\big( N^{\frac{517}{1648}+\varepsilon} \big)$. 特别地，当 $k=2,3,4,5$ 时，我们证明了如下结果： \begin{align*} \sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2} \right\} & = \left(2\log2-\frac{\zeta(2)}{2}\right)N^2+O(N\log N) \\ \sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \sum_{n_3=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2+n_3} \right\} & = \left(\frac{9}{2}\log 3 - 6\log 2 - \frac{\zeta(3)}{6} \right) N^3 + O(N^2) \\ \sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \sum_{n_3=1}^{N} \sum_{n_4=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2+n_3+n_4} \right\} & = \left(\frac{88}{3}\log 2 - 18 \log 3 - \frac{\zeta(4)}{24} \right)N^{4} + O(N^3) \\ \sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \sum_{n_3=1}^{N} \sum_{n_4=1}^{N} \sum_{n_5=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2+n_3+n_4+n_5} \right\} & = \left(\frac{625}{24}\log 5+ \frac{135}{4}\log 3 - \frac{340}{3}\log 2 - \frac{\zeta(5)}{120} \right)N^{5} + O(N^4). \end{align*} 当然我们也证明了 $k$ $(k\geqslant 2)$ 重和式的渐近公式． 一般地, 对于 $k\geqslant 2$, 我们得到了如下定理: 对于 $k\geqslant 3$, 我们有 \begin{equation*} \sum_{n_1=1}^{N} \dotsc \sum_{n_{k}=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+\dotsb+n_k} \right\} = \left( \frac{1}{(k-1)!}\sum_{j=2}^{k} (-1)^{k+j} j^{k-1} \binom{k}{j} \log j - \frac{\zeta(k)}{k!} \right) N^{k} + O\big(N^{k-1}\big). \end{equation*} 其中