Riemann zeta 函数 (Ⅱ)的尾项如何影响其性质？

Riemann zeta 函数 (Ⅱ) June 12, 2012 Riemann 的论文思路 下面按照 Riemann 论文的思路揭示 $\zeta(s)$ 与素数的关系. 将 Euler 乘积公式 \[\zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{1-p^{-s}} \quad (\Re(s)>1)\] 两边取对数得 (利用 $\log(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$) \[\log\zeta(s)=-\sum_{p\in\mathbb{P}}\log(1-p^{-s})=\sum_{p\in\mathbb{P}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{p^{-ns}}{n}\] 上面的二重级数对 $\Re(s)>1$ 绝对收敛, 并且可以改写为 Stieltjes 积分 \begin{equation}\label{eq:4.1} \log\zeta(s)=\int_{0}^{\infty}x^{-s}\,\mathrm{d}J(x) \quad (\Re(s)>1) \end{equation} 其中 $J(x)$ 是一个特殊的阶梯函数. $J(0)=0$, 之后每越过一个素数就增加 $1$, 每越过一个素数的平方就增加 $1/2$, 每越过一个素数的 $n$ 次方就增加 $1/n$. 而在 $J(x)$ 不连续点 (即 $x=p,p^2,p^3,\cdots$ 的点), 其函数值用 $J(x)=\frac{1}{2}[J(x^-)+J(x^+)]$ 来定义. $\ x\ $ $0\le x<2$ $2$ $2<x<3$ $3$ $3<x<4$ $4$ $4<x<5$ $5$ $5<x<7$ $\ J(x)\ $ $\quad 0\quad$ $\frac{1}{2}$ $\quad 1\quad$ $\frac{3}{2}$ $\quad 2\quad$ $\frac{9}{2}$ $\frac{5}{2}$ $3$ $\frac{7}{2}$ $J(x)$ 也可表示为 \[J(x)=\frac{1}{2}\bigg[\sum_{p^n<x}\frac{1}{n}+\sum_{p^n\leqslant x}\frac{1}{n}\bigg].\] 对于任意实数 $x>0$, 记 $\pi(x)$ 为不大于 $x$ 的素数 $p$ 的个数, 即 \begin{equation}\label{eq:4.2}\pi(x)=\sum_{p\leqslant x}1. \end{equation} 由 $J(x)$ 与 $\pi(x)$ 的定义, 我们易得 \begin{equation}\label{eq:4.3} J(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi(x^{1/n})}{n}.\end{equation} 由 Möbius 反演公式我们得 \begin{equation}\label{eq:4.4} \pi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}J(x^{1/n}). \end{equation} 将 \eqref{eq:4.1} 进行一次分部积分, 得 \begin{equation}\label{eq:4.5} \log\zeta(s)=s\int_{0}^{\infty}J(x) x^{-s-1}\,\mathrm{d}x \end{equation} 接下来将 $J(x)$ 从上面积分中解出来, 得 \begin{equation}\label{eq:4.6} J(x)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}} \int_{a-\mathrm{i}\infty}^{a+\mathrm{i}\infty}\frac{\log \zeta(s)}{s}x^s\,\mathrm{d}s \end{equation} 其中 $a>1$. 这个积分是条件收敛的, 它的定义是从 $a-b\mathrm{i}$ 积分到 $a+b\mathrm{i}$ ($b$ 为正实数), 然后取极限 $b\to\infty$. 计算这个积