概率论沉思录：合情推理，为何不是严谨逻辑的替代？

.center { width: auto; display: table; margin-left: auto; margin-right: auto } 注 本文采用勒内·笛卡尔（René Descartes）做为封面，不仅是因为笛卡尔的著作《第一哲学沉思录》[1]是本书中文译名的思想来源，更是因为笛卡尔代表着西方哲学史上的主体性转向，他的理性主义哲学也是贝叶斯派（Bayesian）的思想源泉之一（本书作者就是贝叶斯派的公开支持者）。 导言 当前，实际的逻辑学只擅长处理确定的、不可能的或者完全可疑的事情。幸运的是，这三者都不需要我们去推理。因此，这个世界真正的逻辑是概率演算的逻辑，它考虑的是一名理性思考者的大脑中已经或者应该存在的概率大小。 ——詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell, 1850） 最近蔻享学术主办了每周一次的《概率论沉思录》[2][3]读书会活动，恰好我也正在读该书中译版，通过该活动我了解到了不同学科的老师（数学/物理/统计/计算机）对这本书的不同理解，而我自己对该书的理解也在这个过程中逐渐深入了。于是准备每周都持续更新一下我的读书笔记。 本书作者是一位物理学家，不同于基于Kolmogorov公理化概率论中先从概率空间和测度的定义入手来讲概率论（事实上，本书将概率论视为扩展的逻辑，别说测度甚至连集合理论和样本空间都没用到），而是先从现实世界的经验背景入手提出合情推理和合情程度的概念，然后再介绍合情程度需要满足的定性条件（即合情条件），最后在此基础上推导出合情推理所要满足的定量规则，即乘法规则和加法规则（对应本书第1、2章的内容）。首先，我们来看什么是合情推理。 1 演绎推理与合情推理 我们在数学理论的学习中，我们常常用到的推理方式为演绎推理（deductive reasoning），它可分解为亚里士多德逻辑中两种强三段论（strong syllogisms） 的重复应用： \[\begin{aligned} A真则B真 \\ \underline{\quad \quad \space \space \space A真}\\ B真 \end{aligned}\tag{1} \] 和它的逆 \[\begin{aligned} A真则B真 \\ \underline{\quad \quad \space \space \space B假}\\ A假 \end{aligned}\tag{2} \] 这种推理的特点在于，我们需要一个完全确定的信息来做为大前提（major premise）（比如上面提到的「A真则B真」以及「A真则B真」），这里的大前提在数学中往往以公理（axiom） 的形式呈现；此外，我们还需要一个适当的信息来做为小前提（minor premise）（比如上面提到的「A真」以及「B假」）；其结论（conclusion） 为某命题为真（或假）。例如，将「人皆有一死」做为大前提，「苏格拉底是人」做为小前提，那么就可以得出结论「苏格拉底会死」。 然而现实世界是非常复杂的，我们常常会没有足够的信息来应用强三段论。有时是我们难以观测到适当的信息来做为（强三段论的）小前提，有时是我们的大前提并不完全确定和可靠。 比如我们早上9点看见天空多云，然后预计随后会下雨，此时的推理过程并非演绎的。设命题\(A\)为「上午10点天空开始下雨」，B为「上午10点之前天空变得多云」，那么我们进行推理的大前提为\(A\)真则\(B\)真，小前提为\(B\)真，不同于我们上面提到的两种强三段论。我们将这种推理方法称为弱三段论（weaker syllogisms），也即： \[\begin{aligned} A真则B真 \\ \underline{\quad \quad \space \space \space B真}\\ A变得更合情 \end{aligned}\tag{3} \] 在弱三段论中，证据\(B\)真并不能证明\(A\)真，但\(B\)做为\(A\)的一个结果被验证，会让我们对\(A\)的信心增加。 弱三段论同样存在它的逆： \[\begin{aligned} A真则B真 \\ \underline{\quad \quad \space \space \space A假}\\ B变得更不合情 \end{aligned}\tag{4} \] 同样地，证据\(A\)假并不能证明\(B\)假，但\(B\)的一个可能依据被排除，会让我们对\(B\)的信心减少。 这里值得一提的是，科学家接受或拒绝某理论的推理过程几乎全部由第\((2)\)种或第\((3)\)种三段论组成，也就是说科学家往往是通过实验所测得的证据来进行进一步推理。