实对称矩阵的特征值难道不一定是实数吗？
摘要：虽然不是什么有应用价值的定理，但是每次看到实对称矩阵时总会有疑惑，现在记录下来。 证明 设有实对称矩阵$A$，它的特征值与对应的特征向量分别为$lambda,x$，另外记$overline{A},overline{lambda},
虽然不是什么有应用价值的定理，但是每次看到实对称矩阵时总会有疑惑，现在记录下来。
证明
设有实对称矩阵$A$，它的特征值与对应的特征向量分别为$\lambda,x$，另外记$\overline{A},\overline{\lambda},\overline{x}$分别为它们对应的共轭复数（矩阵和向量是对每个元素共轭）。
首先有：
\begin{equation}\overline{x}^TAx = \overline{x}^T\overline{A}x = (\overline{A}^T\overline{x})^Tx = (\overline{A}\overline{x})^Tx = \overline{Ax}^Tx=\overline{\lambda x}^Tx=\overline{\lambda}\overline{x}^Tx\end{equation}
又有：
\begin{equation}\overline{x}^TAx = \overline{x}^T\lambda x = \lambda \overline{x}^T x\end{equation}
因为$(1),(2)$式相等，所以有：
$(\overline{\lambda} - \lambda)\overline{x}^Tx = 0$
因为特征向量$x\ne 0$，所以$\overline{x}^Tx>0$，因此有$ \overline{\lambda} = \lambda$。特征值为实数得证。