批量归一化（BN）是什么原理？

现在的神经网络通常都特别深，在输出层向输入层传播导数的过程中，梯度很容易被激活函数或是权重以指数级的规模缩小或放大，从而产生“梯度消失”或“梯度爆炸”的现象，造成训练速度下降和效果不理想。 　　如何避免或者减轻这一现象的发生呢？归一化就是方法的一种。归一化将网络中层与层之间传递的数据限制在一定范围内，从而避免了梯度消失和爆炸的发生。下面介绍一种最基本的归一化：批量归一化（BN, Batch Normalization）。另外还有层归一化（LN, Layer Normalization）和权重归一化（WN, Weight Normalization），和BN大同小异。 批量归一化 　　批量归一化层的是这样定义的，当使用批量梯度下降（或小批量）时，对前一层的输出在批量的维度上进行归一化，即 \begin{align} &\hat{X}_i^t=\frac{X_i^{t-1}-E(X^{t-1})}{\sqrt{D(X^{t-1})+\varepsilon}} \\ \text{where}\;\; &E(X^{t-1}) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^{t-1}\notag\\ &D(X^{t-1}) = \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n\left[X_i^{t-1}-E(X^{t-1})\right]^2\notag \end{align} 　　其中$n$是输入批量，$X_i^{t-1}$是前一层输出批量中的第$i$个，$\varepsilon$是为避免0除而设置的较小数。以上都是按元素进行的操作。这样做的显式优点在于，大部分的输出都被映射到了-1和1之间，而诸如sigmoid激活函数，在这个区间内的梯度是最大的，从而避免因激活函数值的饱和而产生的梯度消失。并且由于层输出的归一化约束，反向传播的累积不会特别显著，梯度爆炸也得以避免。 　　但是，如果仅仅进行以上操作，网络的拟合能力就会下降。这是因为，神经网络强大的拟合能力在于激活函数的非线性。经过以上操作，激活函数的输入通常都集中在-1和1之间，而sigmoid函数在这区间内的导数变化率是比较低的，或者说是比较线性的。为了防止这一点，BN在这基础上再加一个“反向”操作，将权重输出再乘上自学习的标准差和均值，映射到激活函数曲率（或者说二阶导数绝对值、导数变化率）相对更大的位置，在获得较大导数的同时，保留激活非线性。公式如下： $ \begin{aligned} &X_i^t= \gamma^t\hat{X}_i^t+\beta^t\\ \end{aligned} $ 　　与$(1)$式联合得到： $ \begin{aligned} &X_i^t= \frac{\gamma^t}{\sqrt{D(X^{t-1})+\varepsilon}}X_i^{t-1} + \left(\beta^t-\frac{E(X^{t-1})\gamma^t}{\sqrt{D(X^{t-1})+\varepsilon}}\right) \\ \end{aligned} $ 　　其中$\gamma,\beta$都是模型中用反向传播学习的参数。这样一来，BN层可以自己“决定”将输出映射到合适位置。 　　另外，在训练结束进行推理时，我们输入模型的通常都是单个样本，毕竟一个样本是不能求样本方差的。所以BN使用滑动平均（moving average）来保存所有输入的均值和方差，以用于对单一输入的归一化。 Keras中BN的使用 　　Keras中已经实现了BN层可以直接使用，而不用我们自己重新写这个轮子。使用方式如下： x = keras.layers.BatchNormalization(axis=-1,#对输入的哪个轴执行BN momentum=0.99,#滑动平均和方差的动量 epsilon=0.001,#防止0除的较小值 center=True,#是否使用beta调整归一化后的输出均值 scale=True,#是否使用gamma调整归一化后的输出方差 trainable=True)(x) 　　其中要注意axis，归一化操作是针对axis维度指定的向量进行的。