Halcon仿射变换的基本原理是什么？
摘要：仿射变换 Affine Transformation 仿射变换：由一个平面立体图形变换到另一个平面立体图形的一种变换。在改变的过程中，保持直线和平行线不变（平行线映射为平行线），任何放射变换都可以分解为缩放、旋转、平移和切变的组合。 仿
仿射变换 Affine Transformation
仿射变换：由一个平面/立体图形变换到另一个平面/立体图形的一种变换。在改变的过程中，保持直线和平行线不变（平行线映射为平行线），任何放射变换都可以分解为缩放、旋转、平移和切变的组合。
仿射变换矩阵：
\[\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
1
\end{bmatrix}
\]
指定变换矩阵的参数(a,b,c,d,e,f)
使用一个简单的输入点(x,y) = (2,3)在齐次坐标中表示为(2,3,1)
计算得到输出点(x',y') = (a*2+b*3+c,d*2+e*3+f)
1.平移(Translation)
标准定义：平移由平移向量(Tx,Ty)定义，矩阵为：
\[\begin{bmatrix}
1 & 0 & Tx \\
0 & 1 & Ty \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
示例:取平移向量(Tx,Ty) = (4,5)
变换矩阵：
\[\begin{bmatrix}
1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 5 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
计算过程：
\[\begin{bmatrix}
1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 5 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 \\
3 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
6 \\
8 \\
1
\end{bmatrix}
\]
结果：点(2,3)变换到点(6,8)
解释：点沿 x 轴移动 4 单位，沿 y 轴移动 5 单位。
Halcons算子：hom_mat2d_translate在现有变换矩阵基础上添加平移分量。
参数：
HomMat2D：输入变换矩阵（若从零开始，需先初始化单位矩阵）
Tx, Ty：X/Y方向的平移量
HomMat2DTranslate：输出变换矩阵
* 初始化单位矩阵
hom_mat2d_identity(HomMat2DIdentity)
* 添加平移 (Tx=100, Ty=50)
hom_mat2d_translate(HomMat2DIdentity, 100, 50, HomMat2DTranslate)
2.缩放(Scaling)
标准定义：缩放由缩放因子Sx(x方向)和Sy(y方向)定义，矩阵为：
\[\begin{bmatrix}
Sx & 0 & 0 \\
0 & Sy & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
示例：取缩放因子Sx=2和Sy=3
变换矩阵：
\[\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
计算过程：
\[\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 \\
3 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
4 \\
9 \\
1
\end{bmatrix}
\]
结果：点(2,3)变换到点(4,9)
解释：点沿 x 轴缩放 2 倍，沿 y 轴缩放 3 倍。
Halcons算子：hom_mat2d_scale以指定中心点缩放。
参数：
HomMat2D：输入变换矩阵（若从零开始，需先初始化单位矩阵）
Sx, Sy：X/Y方向的缩放因子
Px, Py：缩放中心坐标（图像坐标系）
HomMat2DScale：输出变换矩阵
* 初始化单位矩阵
hom_mat2d_identity(HomMat2DIdentity)
* 以点 (Px=300, Py=300) 为中心，X方向放大2倍，Y方向缩小0.5倍
hom_mat2d_scale(HomMat2DIdentity, 2, 0.5, 300, 300, HomMat2DScale)
3.旋转(Rotation)
标准定义：旋转由旋转角度θ(逆时针为正)定义，矩阵为：
\[\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\
\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
示例：取旋转角度θ=90°(π/2弧度)，则sin 90° = 1, cos 90° = 0
变换矩阵：
\[\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
计算过程：
\[\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 \\
3 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-3 \\
2 \\
1
\end{bmatrix}
\]
结果：点(2,3)变换到点(-3,2)
解释：点沿 x 轴旋转 90°，即逆时针旋转 90°。
Halcons算子：hom_mat2d_rotate绕指定中心点旋转。
参数：
HomMat2D：输入变换矩阵（若从零开始，需先初始化单位矩阵）
Angle: 旋转角度（弧度制）
Px, Py：旋转中心坐标（图像坐标系）
HomMat2DRotate：输出变换矩阵
* 初始化单位矩阵
hom_mat2d_identity(HomMat2DIdentity)
* 绕点 (Px=200, Py=200) 旋转 30°（弧度 ≈0.5236）
AngleRad := 30 * 3.1415926 / 180
hom_mat2d_rotate(HomMat2DIdentity, AngleRad, 200, 200, HomMat2DRotate)
4.错切(Shearing)
标准定义：错切由错切系数Sx(x方向)和Sy(y方向)定义，矩阵为：
\[\begin{bmatrix}
1 & Sx & 0 \\
Sy & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
示例：取错切系数Sx=0.5和Sy=0.2
变换矩阵：
\[\begin{bmatrix}
1 & 0.5 & 0 \\
0.2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
计算过程：
\[\begin{bmatrix}
1 & 0.5 & 0 \\
0.2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 \\
3 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1.5 \\
2.6 \\
1
\end{bmatrix}
\]
结果：点(2,3)变换到点(1.5,2.6)
解释：点沿 x 轴错切 0.5 单位，沿 y 轴错切 0.2 单位。
注意：错切矩阵的逆矩阵是：
\[\begin{bmatrix}
1 & -0.5 & 0 \\
-0.2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
5.复合变换(Composition)
多个仿射变换可以组合成一个复合变换，矩阵的乘积表示。
示例：先平移再缩放再旋转,平移向量(Tx,Ty)=(4,5)，缩放因子Sx=2和Sy=3，旋转角度θ=90°(π/2弧度)
变换矩阵：
\[\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 5 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
合并后的复合变换矩阵：
\[ \begin{bmatrix}
0 & -2 & 8 \\
3 & 0 & 15 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
计算过程：
\[\begin{bmatrix}
0 & -2 & 8 \\
3 & 0 & 15 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 \\
3 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1 \\
6 \\
1
\end{bmatrix}
\]
结果：点(2,3)变换到点(-1,6)