单纯形法原理如何应用于复杂线性规划问题？

单纯形法 参考连接：单纯形法 单纯形法是针对求解线性规划问题的一个算法，这个名称里的 “单纯形” 是代数拓扑里的一个概念，可以简单将“单纯形”理解为一个凸集，标准的线性规划问题（线性规划标准型）可以表示为： \[max\,(or\,min)\quad{f(x)=cx} \] \[\quad\quad\quad{s.t.}\quad{Ax=b} \] \[\quad\quad\quad\quad\quad{x}\geq{0} \] 单纯形法最早由 George Dantzig于1947年提出，单纯形法对于求解线性规划问题是具有跨时代意义的，其实不仅仅是针对线性规划，非线性规划问题在求解的过程中也大量依赖单纯形法。 一、凸集及其性质的介绍 1.1 凸集的概念 单纯形可以理解为一个凸集，介绍单纯形法之前有必要先来了解一下凸集概念及其性质，凸集上求最优解是凸优化的一个分支，凸集对于简化问题是有重要意义的。 凸集可以用图形表示为一个没有洞的联通区域，如下图所示： 凸集的概念： （1）如果集合\(C\)中任意两个点\(X_1,X_2\)，其连线上所有的点也都是集合\(C\)中的点，称\(C\)为凸集 （2）\(X_1,X_2\)的连线可以表示为：\(aX_1+(1-a)X_2\quad(0<a<1)\) （3）凸集定义用数学解析式可表示为：对\(\forall{X_1,X_2}\in{C}\)，有：\(aX_1+(1-a)X_2\in{C}\quad(0<a<1)\) 关于（2），以一个一维坐标例子简单理解一下。如图，\(aX_1+(1-a)X_2=a(X_1-X_2)+X_2\quad(0<a<1)\)，其中\(a=0\)和\(a=1\)分别代表\(X_2、X_1\)；\(a\in(0,1)\)代表点\(X_1\)和点\(X_2\)连线中任意一点 根据定义下面这个图形所定义的区域不是凸集： 1.2 凸集的顶点 顶点： 凸集\(C\)中满足下述条件的点\(X\)称为顶点： 如果\(C\)中不存在任何两个不同的点\(X_1,X_2\)，使\(X\)成为这两个点连线上的一个点。 或者这样表述：对\(\forall{X_1,X_2}\in{C}\)，不存在\(X=aX_1+(1-a)X_2\quad(0<a<1)\)，则称\(X\)是凸集\(C\)的顶点 如图，因为\(a≠0或1\)，所以\(X\)不能成为\(C\)中某条连线上的一个点。 1.3 几个基本定理 定理1若线性规划问题存在可行解，则问题的可行域是凸集 证明见《运筹学教程（第五版）》第20页 定理2线性规划问题的基可行解\(X\)对应线性规划问题可行域（凸集）的顶点 定理3若线性规划问题有最优解，一定存在一个基可行解是最优解 二、单纯形法原理 2.1 线性规划问题的解的概念 可行解满足所有约束条件的解，称为线性规划问题的可行解。全部可行解的集合称为可行域。 最优解使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。 基设\(A\)为约束方程组的\(m×n(m>n)\)阶系数矩阵，其秩为\(m\)，\(B\)是\(A\)的一个\(m×m\)阶满秩子矩阵，称\(B\)是线性规划问题的一个基。 \(B\)中每一个列向量\(P_j(j=1,\dots,m)\)称为基向量 与基向量\(P_j\)对应的变量\(x_j\)称为基变量 线性规划中除基变量以外的变量称为非基变量 基解由\(m\)个约束方程可解出\(m\)个基变量的唯一解\(X_B\)，将这个解加上非基变量取\(0\)的值产生的解\(X\)，称为线性规划问题的基解。 基解中变量取非\(0\)值的个数不大于方程数\(m\)，故基解的总数不超过\(C^m_n\)个 基可行解满足变量非负约束条件（如\(x\geq0\)）的基解称为基可行解 单纯型法应用于标准化形式的线性规划问题，所以在线性规划问题中决策变量\(x\)均大于等于\(0\) 可行基对应于基可行解的基称为可行基 2.2 单纯形法的实现 根据定理2和定理3，最优解一定是一个基可行解，且为凸集的一个顶点。 单纯形法的核心思想可以归纳为： 找到每一个基本可行解，代入目标函数后计算函数值取其最大或最小值即可。单纯形法上从代数角度是寻找约束条件的每一个基本可行解，从几何意义上来说是遍历凸集的每一个顶点，根据算法的特性有时也称为转轴法。 当求解最小值问题时，如果借助梯度的概念，在得到一个顶点后，切换下一个顶点方向是函数变小的方向无疑会节省很多时间。