高光谱成像九，光谱解混基础原理是什么？

在之前的内容中，我们已经介绍了 LMM 的基本思想及其相关概念。根据这一模型，高光谱图像中每个像素的观测光谱都可以表示为若干端元光谱的线性组合。 而在此基础上，MF 和 ACE 这类高光谱目标检测算法，其实可以看作 LMM 的一种特殊应用形式。这类方法通过估计背景像素的统计特性，构建针对目标光谱的滤波器，从而实现对目标像素的检测。 但其实站在 LMM 的角度上，我们还可以用另一种方式来理解这两种方法，再再再看一遍公式： \[\mathbf{x} = \alpha \mathbf{s} + \mathbf{b} \] 在这个公式中，\(\mathbf{x}\) 表示观测光谱，\(\mathbf{s}\) 表示目标光谱，而 \(\mathbf{b}\) 表示背景干扰。 当我们通过估计方法得到背景 \(\mathbf{b}\) 的统计特性后，其实就可以把它看作是已知的背景成分。这样一来，模型中唯一需要估计的未知量实际上只剩下 \(\alpha\)，也就是目标光谱在该像素中的丰度。 因此，当我们利用 MF 或 ACE 构建滤波器并得到响应值时，本质上是在干这样一件事： 估计目标光谱在该像素中的丰度。 显然： 当 \(\alpha\) 较大时，说明目标成分在像素中的比例较高。 当 \(\alpha\) 较小时，则说明目标信号较弱，甚至可能不存在。 从这个角度来看，这类目标检测方法实际上也可以理解为一种 简化形式的光谱解混。 而更一般的情况下，一个像素往往包含多种不同材料，此时我们需要同时估计多种端元在像素中的比例，这就是高光谱分析中的另一类重要问题：光谱解混（Spectral Unmixing）。 光谱解混与目标检测密切相关，是高光谱成像中另一个重要的研究方向。本篇内容就关于光谱解混基础。 1. 最小二乘法与神经网络 任何领域的发展要经历从简单到复杂的演变，体现在计算机和统计领域的求解问题中，其实就是从线性到非线性的过程。 而光谱解混最基础的理论来源之一，就是最小二乘法，这是线代中的基础内容，我们简单展开如下： 于是，拟合就变成了一个求最值的问题，通过导数求解后，我们就通过已知数据得到一条直线来描述数据间的关系。 但是，这条直线并不是像标准函数那样的“精确解”，它只是对已知数据的最佳线性逼近，是“让误差最小的近似解”。 而究其原因，是因为简单的直线无法精确描述图中数据的关系，当我们希望得到精度更高的结果时，自然而然的，就要引入非线性，就像这样： 其实，这就是神经网络的理论基础，一个隐藏层神经元就是像上面的直线一样进行线性组合，激活函数则是引入非线性，让直线可以弯曲成这里的样子，最终，通过损失函数反向传播，学习到更精确的解。 了解了这一基础逻辑后，我们再来光谱混解本身。 2. 从最小二乘到光谱解混 我们已经知道了：在高光谱图像中，每个像素往往不是单一材料，而是多种材料的混合。 现在，假设我们已经从图像中提取了若干端元光谱，记作矩阵 \(S\)： \[S = [\mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2, \dots, \mathbf{s}_p] \in \mathbb{R}^{L \times p} \] 其中： \(L\)：波段数量。 \(p\)：端元数量。 \(\mathbf{s}_i\)：第 \(i\) 个端元的光谱。 那么，根据 LMM 的思想，一个像素的观测光谱 \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^L\) 就可以用这些端元的线性组合来近似： \[\mathbf{x} \approx S \mathbf{a} = \sum_{i=1}^p a_i \mathbf{s}_i \] 显然，这里的 \(\mathbf{a} = [a_1, a_2, \dots, a_p]^T\) 就是我们想求的端元丰度向量。 总结来说，光谱解混就是把每个像素的光谱分解为端元的加权和，权重就是材料在像素中的比例。 同样的，如果我们想让对丰度的估计结果更精确，就要让观测光谱和近似光谱的误差最小，于是我们的目标就变成了： \[\min_{\mathbf{a}} |\mathbf{x} - S\mathbf{a}|^2 \] 到这里，最小二乘法就可以排上用场了。 3.全约束最小二乘 FCLS（Fully Constrained Least Squares） 在光谱解混领域，最基础的解混方法就是全约束最小二乘，它的英文全称是 Fully Constrained Least Squares，缩写为 FCLS。