这些积性函数的均值如何为？

几个积性函数的均值 Euler 示性函数 $\varphi(n)=n\prod_{p\mid n} \left(1-\frac1{p} \right)$ 对应的 Dirichlet 级数为 \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}, \quad (\Re s>2), \] 交错级数对应的 Dirichlet 级数是 \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{2^s-3}{2^s-1} \cdot \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} \quad (\Re s>2). \] $\varphi$ 的最佳均值估计属于 Walfisz (1963) [1, p. 144] \[ \sum_{n\leqslant x} \varphi(n) = \frac{3}{\pi^2} x^2 + O\left( x (\log x)^{2/3} (\log \log x)^{4/3} \right). \] 易得 $\varphi$ 的交错级数部分和 \[ \sum_{n\leqslant x} (-1)^{n-1} \varphi(n) = \frac1{\pi^2} x^2 + O\left( x (\log x)^{2/3} (\log \log x)^{4/3} \right). \] 1900 年 E. Landau [2] 证明了 $\varphi$ 的倒数均值为 \[ \sum_{n \leqslant x} \frac{1}{\varphi(n)} = \frac{\zeta(2) \zeta(3)}{\zeta(6)} \left( \log x + \gamma - \sum_p \frac{\log p}{p^2 - p + 1} \right) + O \left( \frac{\log x}{x} \right). \] 2013 年 Bordellès 和 Cloitre [3, Corollary 4, (i)], 2017 年 László Tóth [4, Theorem 17] 分别证明了 $\varphi$ 的倒数交错级数部分和公式: \[ \sum_{n \leqslant x} \frac{(-1)^n}{\varphi(n)} = \frac{\zeta(2) \zeta(3)}{3 \zeta(6)} \left( \log x + \gamma - \sum_{p} \frac{\log p}{p^2-p+1} - \frac{8 \log 2}{3} \right) + O \left( \frac{(\log x)^{5/3}}{x} \right). \] Dedekind 函数 $\psi(n)=n \prod_{p\mid n} \left(1+\frac1{p}\right)$ 对应的 Dirichlet 级数是 \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\psi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s)\zeta(s-1)}{\zeta(2s)} \quad (\Re s>2), \] 交错级数对应的 Dirichlet 级数是 \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{\psi(n)}{n^s} = \frac{2^s-5}{2^s+1} \cdot \frac{\zeta(s)\zeta(s-1)}{\zeta(2s)} \quad (\Re s>2). \] $\psi$ 均值的余项最好的估计也属于 Walfisz [1, p. 100] \[ \sum_{n\leqslant x} \psi(n) = \frac{15}{2\pi^2} x^2 + O\left( x (\log x)^{2/3} \right). \] 同理可得 \[ \sum_{n\leqslant x} (-1)^{n} \psi(n) = \frac{3}{2\pi^2} x^2 + O\left( x (\log x)^{2/3} \right). \] 1979 年 Sita Ramaiah 和 Suryanarayana 研究了某些积性函数倒数的均值, 他们证明了 [5, Corollary 4.2] \begin{align*} \sum_{n \leqslant x} \frac1{\psi(n)} = \prod_{p\in \mathbb{P}} \left(1-\frac1{p(p+1)